歐拉公式的由來
在復數世界中,當我們集成三角表達式時,我們很可能會遇到所謂的歐拉公式。這個強大的方程式以傳奇的數學家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)的名字命名。Euler公式,是Leonhard Euler的兩個重要數學定理之一。在三角函數中使用的第一個公式,也稱為歐拉恒等式,表示e?i?x?= cos?x?+?i?sin?x,其中e是自然對數的底數,而i是-1的平方根(請參閱 無理數)。當X是等于π或2π,式產生與π,2個優雅表達式?,和我:?我π= -1和? 2我π = 1,分別。第二個也稱為Euler多面體公式,是與任何多面體的面,頂點和邊的數量相關的拓撲不變性(請參見 拓撲)。記為F + V = E + 2,其中F是面的數量,V是頂點的數量,E是邊的數量。例如,一個立方體有6個面,8個頂點和12個邊,并滿足此公式。
我們將研究Euler公式如何使我們將復數表示為指數,并探索相對容易地建立復數的不同方法。
此外,我們還將考慮它的幾種應用,例如歐拉恒等式的特殊情況,復數的指數形式,關鍵函數的替代定義以及de Moivre定理和三角可加恒等式的替代證明。
筆記:此Euler公式與其他Euler公式(例如凸多面體公式)有所區別。
目錄
歐拉公式的解釋:簡介,解釋和示例
那么,歐拉公式到底是什么?簡而言之,該定理表明:
e?i?x?= cos?x?+?i?sin?x
在哪里:
- X是一個實數。
- ?是自然對數的底。
- 一世是虛數單位(即,的平方根)-1個)。
筆記
在此公式中,右側有時縮寫為?順式?X,盡管是左側的表達式??一世X?通常比?順式?符號。
歐拉公式建立了三角函數和指數函數之間的基本關系。在幾何上,可以將其視為在復平面中橋接相同單位復數的兩個表示的一種方式。
讓我們看一下Euler公式的一些關鍵值,并看一下它們如何對應于三角/單位圓中的點:
- 為了?X=0, 我們有??0=cos?0+一世罪?0, 這使?1個=1個。到目前為止一切順利:我們知道0?在三角圓上是?1個?在實軸上,這就是我們得到的結果。
- 為了?X=1個, 我們有??一世=cos?1個+一世罪?1個。這個結果表明?一世精確地是單位圓上的角度為1弧度的點。
- 為了?X=π2個, 我們有??一世π2個=cos?π2個+一世罪?π2個=一世。該結果在與物理有關的某些計算中很有用。
- 為了?X=π, 我們有??一世π=cos?π+一世罪?π, 意思就是??一世π=-1個。這個結果等同于著名的歐拉身份。
- 為了?X=2個π, 我們有??一世(2個π)=cos?2個π+一世罪?2個π, 意思就是??一世(2個π)=1個,與?X=0。
理解歐拉公式的關鍵在于如下重寫公式:(?一世)X=罪?X+一世cos?X在哪里:
- 可以將右手表達式視為帶角度的單位復數X。
- 左手表達式可以認為是將1弧度單位復數提高為X。
并且由于將單位復數提高為冪可以被視為重復的乘法(即,在這種情況下為相加角),因此歐拉公式可以解釋為圍繞單位圓到達同一點的兩種不同方式。
派生
歐拉公式至少可以通過三種方式建立。一階推導基于冪級數,其中指數,正弦和余弦函數作為冪級數展開,得出該公式確實成立。
歐拉公式的第二個推導基于微積分,其中將方程的兩邊都視為函數并進行相應的微分。然后,這導致了對公共屬性的識別-可以利用該屬性來表明兩個功能確實相等。
歐拉公式的另一個推導涉及在復平面中使用極坐標,通過該極坐標可以得到[R?和?θ隨后被發現。實際上,您僅通過查看公式本身就可以猜測這些值是什么!
派生1:功率系列
歐拉公式最直觀的推導之一就是使用冪級數。它在于擴展指數,正弦和余弦的冪級數-最終得出等式成立的結論。
需要說明的是,這種方法假設冪級數展開式為?罪??,?cos??, 和???到處都是絕對收斂的(例如,它們適用于所有復數)?)。但是,它還具有顯示歐拉公式適用于所有復數的優點??也一樣
對于復雜的變量??的冪級數展開的???是??=1個+?1個!+?2個2個!+?33!+?44!+?現在,讓我們來???成為?一世X?(在哪里?X是任意復數)。作為??被提升到越來越大的力量,?一世也被提升到越來越大的力量。該前八對權力的一世?看起來像這樣:(根據定義?)一世0=1個一世4=一世2個?一世2個=1個一世1個=一世一世5=一世?一世4=一世一世2個=-1個(根據定義?一世)一世6=一世?一世5=-1個一世3=一世?一世2個=-一世一世7=一世?一世6=-一世(注意周期性的權力一世:?1個,?一世,?-1個,?-一世。我們將很快使用這些功能。)
和??=一世X,擴展????變成:?一世X=1個+一世X+(一世X)2個2個!+(一世X)33!+(一世X)44!+?提取力量?一世,我們得到:?一世X=1個+一世X-X2個2個!-一世X33!+X44!+一世X55!-X66!-一世X77!+X88!+?并且自從冪級數展開以來???是絕對收斂的,我們可以在不改變其價值的情況下重新排列其條件。將實項和虛項組合在一起便得出:?一世X=(1個-X2個2個!+X44!-X66!+X88!-?)+一世(X-X33!+X55!-X77!+?)現在,讓我們繞道而行,看看正弦?和?余弦的冪級數。電源系列cos?X?是cos?X=1個-X2個2個!+X44!-X66!+X88!-?而對于?罪?X, 這是罪?X=X-X33!+X55!-X77!+?換句話說,我們擁有的最后一個方程正好是?一世X=cos?X+一世罪?X這就是我們一直在尋找的歐拉公式的陳述。
推導2:微積分
建立歐拉公式的另一種巧妙方法是同時考慮兩者??一世X?和?cos?X+一世罪?X作為功能的X,然后區分它們以找到關于它們的一些共同屬性。
為了做到這一點,必須假設這些功能???,?cos?X?和?罪?X為所有實數定義和可區分X?和復數??。通過假設這些函數對于所有復數都是可微的,也有可能證明歐拉公式也適用于所有復數。
首先,讓?F1個(X)?和?F2個(X)?是??一世X?和?cos?X+一世罪?X, 分別。差異化?F1個然后通過鏈式規則得出:F1個′(X)=一世?一世X=一世F1個(X)同樣,區別?F2個?還產生:F2個′(X)=-罪?X+一世cos?X=一世F2個(X)換句話說,兩個函數都滿足微分方程?F′(X)=一世F(X)。現在,考慮功能F1個F2個,這是對所有對象定義明確的X?(自從?F2個(X)=cos?X+一世罪?X對應于單位圓上的點,永遠不會為零)。解決之后,在該函數上使用商規則,將得出:(F1個F2個)′(X)=F1個′(X)F2個(X)-F1個(X)F2個′(X)[F2個(X)]2個=一世F1個(X)F2個(X)-F1個(X)一世F2個(X)[F2個(X)]2個=0由于這里的導數是?0,這意味著該功能?F1個F2個首先必須是一個常數。這個常數的值是多少?讓我們通過插入來弄清楚X=0?進入功能:(F1個F2個)(0)=?一世0cos?0+一世罪?0=1個換句話說,我們必須所有人都擁有?X:(F1個F2個)(X)=?一世Xcos?X+一世罪?X=1個在移動之后?cos?X+一世罪?X?在右邊,成為我們一直在尋找的著名公式。
推導3:極坐標
歐拉公式的又一個巧妙的證明涉及將指數視為數字,或更具體地說,將其視為極坐標下的復數。
確實,我們已經知道,所有非零復數都可以以獨特的方式在極坐標中表示。特別是任何形式的表格?一世X?(與真實?X)(非零)可以表示為:?一世X=[R(cos?θ+一世罪?θ)在哪里?θ是它與正實軸的主角(例如,0≤θ<2個π), 和?[R是它的半徑([R>0)。我們不對的值做任何假設[R?和?θ,但事實是它們是?X?(可能包含也可能不包含?X作為變量)。它們將在證明過程中確定。
(但是,我們知道的是?X=0,左側是?1個,這意味著?[R?和?θ滿足初始條件的[R(0)=1個?和?θ(0)=0, 分別。)
對于什么是價值,我們將通過開始區分等式的兩邊。通過指數的定義,相對于X?產量?一世?一世X。在微分方程式的右邊之后,方程式變為:一世?一世X=d[RdX(cos?θ+一世罪?θ)+[R(-罪?θ+一世cos?θ)dθdX我們正在尋找一種在以下方面具有獨特性的表達方式:?[R?和?θ。擺脫?一世X,我們換回?[R(cos?θ+一世罪?θ)?為了??一世X?要得到:一世[R(cos?θ+一世罪?θ)=(cos?θ+一世罪?θ)d[RdX+[R(-罪?θ+一世cos?θ)dθdX到達那里后,分發?一世?然后在左側產生:[R(一世cos?θ-罪?θ)=(cos?θ+一世罪?θ)d[RdX+[R(-罪?θ+一世cos?θ)dθdX分別將虛部和實部相等,我們得到:一世[Rcos?θ=一世罪?θd[RdX+一世[Rcos?θdθdX和-[R罪?θ=cos?θd[RdX-[R罪?θdθdX我們在這里是一個系統,兩個方程和兩個未知數,其中d[R/dX?和?dθ/dX是變量。我們可以通過幾個步驟解決它。首先,通過分配α?至?d[R/dX?和?β?至?dθ/dX,我們得到:(一世)(二)(一世)[Rcos?θ=(罪?θ)α+([Rcos?θ)β(二)-[R罪?θ=(cos?θ)α-([R罪?θ)β其次,將(I)乘以?cos?θ?和(II)由?罪?θ,我們得到:(三)(四)(三)[Rcos2個?θ=(罪?θcos?θ)α+([Rcos2個?θ)β(四)-[R罪2個?θ=(罪?θcos?θ)α-([R罪2個?θ)β這些操作的目的是消除?α?通過執行(III)–(IV),當我們這樣做時,我們得到:[R(cos2個?θ+罪2個?θ)=[R(cos2個?θ+罪2個?θ)β自從?cos2個?θ+罪2個?θ=1個,出現了一個更簡單的方程式:[R=[Rβ由于?[R>0?對所有人?X,這意味著?β?-我們已經設定為?dθ/dX?—等于?1個。
到達該位置后,將結果代入(I)和(II)并進行一些抵消,我們得到:0=(罪?θ)α0=(cos?θ)α這意味著?α?-我們已經設定為?d[RdX?—必須等于?0。
從事實?d[R/dX=0,我們可以推斷出?[R必須是一個常數。同樣,從事實dθ/dX=1個,我們可以推斷出?θ=X+C?對于一些常數?C。
但是,由于?[R滿足初始條件?[R(0)=1個,我們必須擁有?[R=1個。同樣,因為θ?滿足初始條件?θ(0)=0,我們必須擁有?C=0。那是,θ=X。
和?[R?和?θ?現在已經確定,我們可以將它們插入原始方程式并獲得:?一世X=[R(cos?θ+一世罪?θ)=cos?X+一世罪?X正如預期的那樣,這正是歐拉實數公式的陳述?X。
應用領域
作為數學中最重要的方程式之一,歐拉公式無疑在不同主題中都有其有趣的應用領域。其中包括:
- 著名的歐拉身份
- 復數的指數形式
- 三角函數和雙曲函數的替代定義
- 將指數和對數函數推廣為復數
- de Moivre定理和三角可加恒等式的替代證明
歐拉的身份
歐拉的恒等式通常被認為是數學中最美麗的方程式。它寫為
?一世π+1個=0
它展示了數學中最重要的五個常數。這些都是:
- 該添加劑的身份?0
- 該統一?1個
- 該丕恒?π?(圓的周長與其直徑之比)
- 的自然對數的基地??
- 的虛數單位?一世
其中,代表三種類型的數字:整數,無理數和虛數。還表示了三個基本的數學運算:加法,乘法和乘冪。
我們從歐拉公式開始獲得歐拉的身份?一世X=cos?X+一世罪?X并通過設置?X=π?并發送后續?-1個到左側?中間形式?一世π=-1個在復平面中的三角單位圓的上下文中是常見的:它對應于單位圓上相對于正實軸的角度為π。
指數形式的復數
至此,我們已經知道復數??可以用笛卡爾坐標表示為X+一世?, 在哪里?X?和???分別是的實部和虛部??。
實際上,相同的復數也可以用極坐標表示為[R(cos?θ+一世罪?θ), 在哪里?[R?是它到原點的距離的大小,并且?θ?是它相對于正實軸的角度。
但這還不止于此:由于有了歐拉公式,現在每個復數都可以表示為復指數?,如下所示:
?=[R(cos?θ+一世罪?θ)=[R?一世θ
在哪里?[R?和?θ?與以前的數字相同。
從?(X,?)?至?([R,θ),我們使用公式[R=X2個+?2個θ=阿坦2?(?,X)(在哪里?阿坦2?(?,X)是兩個參數的反正切函數與阿坦2?(?,X)=Arctan?(?X)?每當?X>0)
反之,從?([R,θ)?至?(X,?),我們使用以下公式:X=[Rcos?θ?=[R罪?θ復數的指數形式也使得乘以復數容易得多-就像同樣的方式直角坐標使另外更容易。例如,給定兩個復數?1個=[R1個?一世θ1個?和??2個=[R2個?一世θ2個,我們現在可以將它們相乘,如下所示:?1個?2個=[R1個?一世θ1個?[R2個?一世θ2個=[R1個[R2個?一世(θ1個+θ2個)本著同樣的精神,我們還可以將兩個相同的數字除以如下:?1個?2個=[R1個?一世θ1個[R2個?一世θ2個=[R1個[R2個?一世(θ1個-θ2個)
筆記
可以肯定的是,這些確實以指數的屬性為前提,例如??1個+?2個=??1個??2個?和??-?1個=1個??1個,例如可以通過擴展???1個,??-?1個?和???2個。
如果我們使用矩形?X+一世?取而代之的是,相同的除法將需要乘以分子和分母中的復共軛。對于極坐標,情況將是相同的(可能更糟)。
如果有的話,指數形式肯定可以使我們更容易看到,將兩個復數相乘與將幅度相乘和相加角實際上是相同的,將兩個復數相除與將幅度相乘并相減得出的角確實相同。
關鍵功能的替代定義
歐拉公式還可用于為關鍵函數(例如復數指數函數),三角函數(例如正弦,余弦和正切)及其雙曲線對應項提供替代定義。它也可以用來建立這些功能之間的關系。
復指數函數
首先,回想一下歐拉的公式指出?一世X=cos?X+一世罪?X如果假定該公式對實數成立?X僅指數函數才定義為虛數。但是,我們還可以通過簡單的技巧將指數函數擴展為包括所有復數:
??=?X+一世?(=?X?一世?)=dF?X(cos??+一世罪??)
筆記
在這里,我們不必假設指數的加法屬性成立(確實如此),而是第一個表達式和最后一個表達式相等。
換句話說,復數的指數?X+一世?只是其數量級為的復數?X誰的角度是?。有趣的是,這意味著復指數本質上將垂直線映射到圓。這是說明這一點的動畫:
三角函數
除了擴展指數函數的域外,我們還可以使用歐拉公式為反角導出相似的方程?-X:?-一世X=cos?X-一世罪?X該方程式與Euler公式本身一起構成了一個方程式系統,我們可以從中分離出正弦函數和余弦函數。
例如,通過減去??-一世X?來自的等式??一世X?等式,余弦抵消并除以?2個一世,我們得到正弦函數的復雜指數形式:
罪?X=?一世X-?-一世X2個一世
同樣,通過將兩個方程式相加,可消除正弦并除以?2個,我們得到余弦函數的復雜指數形式:
cos?X=?一世X+?-一世X2個
可以肯定的是,下面的視頻更詳細地說明了相同的派生。
另一方面,切線函數定義為罪?Xcos?X,因此就復雜的指數而言,它變為:
棕褐色?X=?一世X-?-一世X一世(?一世X+?-一世X)
如果證明歐拉公式對所有復數都成立(就像我們通過冪級數在證明中所做的那樣),那么這三個公式也同樣適用。它們的存在使我們可以在三角函數和復雜指數之間自由切換,這在計算導數和積分時是一個很大的優勢。
雙曲函數
除了三角函數外,雙曲函數是可以根據復指數定義的另一類函數。實際上,通過這種連接,我們可以識別與三角函數相對應的雙曲函數。
例如,從復雜的正弦和復雜的余弦開始,然后插入一世??(并利用以下事實?一世2個=-1個?和?1個/一世=-一世), 我們有:罪?一世?=?一世(一世?)-?-一世(一世?)2個一世=?-?-??2個一世=一世(??-?-?2個)=一世辛??cos?一世?=?一世(一世?)+?-一世(一世?)2個=??+?-?2個=柯什??從這些,我們也可以插入?一世?進入復雜的切線并得到:棕褐色?(一世?)=罪?一世?cos?一世?=一世辛??柯什??=一世譚??簡而言之,這意味著我們現在可以根據三角函數來定義雙曲函數,如下所示:
辛??=罪?一世?一世柯什??=cos?一世?譚??=棕褐色?一世?一世
但是,這些并不是我們可以提供新定義的唯一功能。實際上,根據歐拉公式,復數對數和一般復數指數是我們可以定義的另外兩類函數。
復數對數和一般復數指數
與實數的對數相比,復數的對數表現出特殊的行為。更具體地說,它具有無限數量的值而不是一個。
為了了解如何操作,我們首先將對數函數定義為指數函數的逆函數。那是:?ln??=?ln?(??)=?此外,我們還知道對于任何復數對??1個?和??2個,指數的加法性質為:??1個??2個=??1個+?2個因此,當將非零復數表示為指數時,我們具有:?=|?|?一世?=?ln?|?|?一世?=?ln?|?|+一世?在哪里?|?|?是的大小???和???是的角度??從正實軸開始。而且由于對數只是數字的指數,當對數升為?,以下定義是按順序進行的:ln??=ln?|?|+一世?首先,這似乎是定義復數對數的一種可靠方法。但是,再看一遍,則發現以這種方式定義的對數可以采用無限數量的值-這是因為??也可以選擇其他任意形式的形式??+2個π??(在哪里???是一個整數)。
例如,我們從較早的時候已經看到??0=1個?和??2個π一世=1個。這意味著可以定義1個?兩者都?0?和?2個π一世?—或任何形式的表格?2個π?一世?為此(在哪里???是一個整數)。
為了解決這個難題,通常使用兩種單獨的方法。第一種方法是簡單地將復數對數視為一個多值函數。即,將每個輸入映射到一組值的函數。實現此目的的一種方法是定義ln???如下:{ln?|?|+一世(?+2個π?)}在哪里?-π<?≤π?和??是一個整數。在這里,該子句-π<?≤π?具有限制角度的作用??僅限一位候選人。因此,?以這種方式定義通常被稱為主角度的?。
第二種方法(可以說更優雅)是簡單地定義的復數對數。???以便???是...的主角??。有了這樣的理解,原始的定義便變得清晰起來:
ln??=ln?|?|+一世?
例如,根據這一新規則,我們將擁有?ln?1個=0?和?ln?一世=ln?(?一世π2個)=一世π2個。我們不再受制于角度周期性的問題!
但是,由于限制?-π<?≤π,復數對數的范圍現在減小到矩形區域?-π<?≤π(即主體分支)。而且,如果我們想保留對數與指數之間的逆關系,我們還需要對指數函數的域進行同樣的處理。
但是,由于復數對數現已定義明確,因此我們也可以基于它定義許多其他內容,而不會產生歧義。這樣的例子就是通用復數指數(基數為非零)一種),其定義如下:
一種?=?ln?(一種?)=dF??ln?一種
例如,使用上面定義的一般復指數,我們現在可以了解?一世一世?實際上意味著:一世一世=?一世ln?一世=?一世π2個一世=?-π2個≈0.208
De Moivre定理和三角可加恒等式的交替證明
該定理稱為de Moivre定理,該定理指出:
(cos?X+一世罪?X)?=cos??X+一世罪??X
在哪里?X?是一個實數,??是一個整數。默認情況下,通過歸納可以證明這是正確的(通過使用某些三角恒等式),但是借助歐拉公式,現在存在一個更簡單的證明。
首先,請記住,指數的乘性表示(??)?=???雖然此屬性通常不適用于復數,但在以下情況下確實適用:??是一個整數。確實,不難發現在這種情況下,數學本質上可以歸結為對指數的加性的重復應用。
解決了這些問題之后,我們可以輕松得出de Moivre定理,如下所示:(cos?X+一世罪?X)?=(?一世X)?=?一世?X=cos??X+一世罪??X在實踐中,這個定理是常用的尋找根復數的,并獲得封閉形式表達的罪??X?和?cos??X。通過將升為高階的函數簡化為簡單的三角函數,可以做到這一點-從而可以輕松進行計算。
實際上,de Moivre定理不是唯一可以通過Euler公式簡化證明的定理。其他身份,如添加劑的身份為罪?(X+?)?和?cos?(X+?),也可以從該效果中受益。
確實,我們已經知道?X?和??:cos?(X+?)+一世罪?(X+?)=?一世(X+?)=?一世X??一世?=(cos?X+一世罪?X)(cos??+一世罪??)=(cos?Xcos??-罪?X罪??)+一世(罪?Xcos??+cos?X罪??)到達那里后,將兩邊的實部和虛部相等,然后得出我們一直在尋找的著名身份:
cos?(X+?)=cos?Xcos??-罪?X罪??罪?(X+?)=罪?Xcos??+cos?X罪??
結論
從上面可以看出,歐拉公式是數學領域中不可多得的瑰寶。它建立了指數函數和三角函數之間的基本關系,并為復數,復函數和相關理論的世界發展鋪平了道路。
的確,無論是歐拉的身份還是復數,歐拉的公式似乎始終如一?罪,?一世?和??參與其中。這是一個功能強大的工具,精通它會帶來巨大的回報,因此,它是“數學中最杰出的公式”的正確候選者。
描述 | 陳述 |
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歐拉公式 | ?一世X=cos?X+一世罪?X |
歐拉的身份 | ?一世π+1個=0 |
復數(指數形式) | ?=[R?一世θ |
復指數 | ?X+一世?=?X(cos??+一世罪??) |
正弦(指數形式) | 罪?X=?一世X-?-一世X2個一世 |
余弦(指數形式) | cos?X=?一世X+?-一世X2個 |
切線(指數形式) | 棕褐色?X=?一世X-?-一世X一世(?一世X+?-一世X) |
雙曲正弦(指數形式) | 辛??=罪?一世?一世 |
雙曲余弦(指數形式) | 柯什??=cos?一世? |
雙曲正切(指數形式) | 譚??=棕褐色?一世?一世 |
復數對數 | ln??=ln?|?|+一世? |
一般復雜exponentia升 | 一種?=??ln?一種 |
迪莫夫定理 | (cos?X+一世罪?X)?=cos??X+一世罪??X |
正弦的加法標識 | 罪?(X+?)=罪?Xcos??+cos?X罪?? |
余弦的加法標識 |
資料來源
- 物理學家的數學(Susan M. Lea)
- 劍橋物理學公式手冊(Graham Woan)