歐拉公式的由來

在復數世界中，當我們集成三角表達式時，我們很可能會遇到所謂的歐拉公式。這個強大的方程式以傳奇的數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）的名字命名。Euler公式，是Leonhard Euler的兩個重要數學定理之一。在三角函數中使用的第一個公式，也稱為歐拉恒等式，表示e?^i?x?= cos?x?+?i?sin?x，其中e是自然對數的底數，而i是-1的平方根（請參閱 無理數）。當X是等于π或2π，式產生與π，2個優雅表達式?，和我：?我π= -1和? 2我π = 1，分別。第二個也稱為Euler多面體公式，是與任何多面體的面，頂點和邊的數量相關的拓撲不變性（請參見 拓撲）。記為F + V = E + 2，其中F是面的數量，V是頂點的數量，E是邊的數量。例如，一個立方體有6個面，8個頂點和12個邊，并滿足此公式。

我們將研究Euler公式如何使我們將復數表示為指數，并探索相對容易地建立復數的不同方法。

此外，我們還將考慮它的幾種應用，例如歐拉恒等式的特殊情況，復數的指數形式，關鍵函數的替代定義以及de Moivre定理和三角可加恒等式的替代證明。

歐拉公式的解釋：簡介，解釋和示例

那么，歐拉公式到底是什么？簡而言之，該定理表明：

e?^i?x?= cos?x?+?i?sin?x

在哪里：

• X是一個實數。
• ?是自然對數的底。
• 一世是虛數單位（即，的平方根）-1個）。

歐拉公式建立了三角函數和指數函數之間的基本關系。在幾何上，可以將其視為在復平面中橋接相同單位復數的兩個表示的一種方式。

讓我們看一下Euler公式的一些關鍵值，并看一下它們如何對應于三角/單位圓中的點：

• 為了?X=0， 我們有??0=cos?0+一世罪?0， 這使?1個=1個。到目前為止一切順利：我們知道0?在三角圓上是?1個?在實軸上，這就是我們得到的結果。
• 為了?X=1個， 我們有??一世=cos?1個+一世罪?1個。這個結果表明?一世精確地是單位圓上的角度為1弧度的點。
• 為了?X=π2個， 我們有??一世π2個=cos?π2個+一世罪?π2個=一世。該結果在與物理有關的某些計算中很有用。
• 為了?X=π， 我們有??一世π=cos?π+一世罪?π， 意思就是??一世π=-1個。這個結果等同于著名的歐拉身份。
• 為了?X=2個π， 我們有??一世（2個π）=cos?2個π+一世罪?2個π， 意思就是??一世（2個π）=1個，與?X=0。

理解歐拉公式的關鍵在于如下重寫公式：（?一世）X=罪?X+一世cos?X在哪里：

• 可以將右手表達式視為帶角度的單位復數X。
• 左手表達式可以認為是將1弧度單位復數提高為X。

并且由于將單位復數提高為冪可以被視為重復的乘法（即，在這種情況下為相加角），因此歐拉公式可以解釋為圍繞單位圓到達同一點的兩種不同方式。

派生

歐拉公式至少可以通過三種方式建立。一階推導基于冪級數，其中指數，正弦和余弦函數作為冪級數展開，得出該公式確實成立。

歐拉公式的第二個推導基于微積分，其中將方程的兩邊都視為函數并進行相應的微分。然后，這導致了對公共屬性的識別-可以利用該屬性來表明兩個功能確實相等。

歐拉公式的另一個推導涉及在復平面中使用極坐標，通過該極坐標可以得到[R?和?θ隨后被發現。實際上，您僅通過查看公式本身就可以猜測這些值是什么！

派生1：功率系列

歐拉公式最直觀的推導之一就是使用冪級數。它在于擴展指數，正弦和余弦的冪級數-最終得出等式成立的結論。

需要說明的是，這種方法假設冪級數展開式為?罪??，?cos??， 和???到處都是絕對收斂的（例如，它們適用于所有復數）?）。但是，它還具有顯示歐拉公式適用于所有復數的優點??也一樣

對于復雜的變量??的冪級數展開的???是??=1個+?1個！+?2個2個！+?33！+?44！+?現在，讓我們來???成為?一世X?（在哪里?X是任意復數）。作為??被提升到越來越大的力量，?一世也被提升到越來越大的力量。該前八對權力的一世?看起來像這樣：（根據定義?）一世0=1個一世4=一世2個?一世2個=1個一世1個=一世一世5=一世?一世4=一世一世2個=-1個（根據定義?一世）一世6=一世?一世5=-1個一世3=一世?一世2個=-一世一世7=一世?一世6=-一世（注意周期性的權力一世：?1個，?一世，?-1個，?-一世。我們將很快使用這些功能。）

和??=一世X，擴展????變成：?一世X=1個+一世X+（一世X）2個2個！+（一世X）33！+（一世X）44！+?提取力量?一世，我們得到：?一世X=1個+一世X-X2個2個！-一世X33！+X44！+一世X55！-X66！-一世X77！+X88！+?并且自從冪級數展開以來???是絕對收斂的，我們可以在不改變其價值的情況下重新排列其條件。將實項和虛項組合在一起便得出：?一世X=（1個-X2個2個！+X44！-X66！+X88！-?）+一世（X-X33！+X55！-X77！+?）現在，讓我們繞道而行，看看正弦?和?余弦的冪級數。電源系列cos?X?是cos?X=1個-X2個2個！+X44！-X66！+X88！-?而對于?罪?X， 這是罪?X=X-X33！+X55！-X77！+?換句話說，我們擁有的最后一個方程正好是?一世X=cos?X+一世罪?X這就是我們一直在尋找的歐拉公式的陳述。

推導2：微積分

建立歐拉公式的另一種巧妙方法是同時考慮兩者??一世X?和?cos?X+一世罪?X作為功能的X，然后區分它們以找到關于它們的一些共同屬性。

為了做到這一點，必須假設這些功能???，?cos?X?和?罪?X為所有實數定義和可區分X?和復數??。通過假設這些函數對于所有復數都是可微的，也有可能證明歐拉公式也適用于所有復數。

首先，讓?F1個（X）?和?F2個（X）?是??一世X?和?cos?X+一世罪?X， 分別。差異化?F1個然后通過鏈式規則得出：F1個′（X）=一世?一世X=一世F1個（X）同樣，區別?F2個?還產生：F2個′（X）=-罪?X+一世cos?X=一世F2個（X）換句話說，兩個函數都滿足微分方程?F′（X）=一世F（X）。現在，考慮功能F1個F2個，這是對所有對象定義明確的X?（自從?F2個（X）=cos?X+一世罪?X對應于單位圓上的點，永遠不會為零）。解決之后，在該函數上使用商規則，將得出：（F1個F2個）′（X）=F1個′（X）F2個（X）-F1個（X）F2個′（X）[F2個（X）]2個=一世F1個（X）F2個（X）-F1個（X）一世F2個（X）[F2個（X）]2個=0由于這里的導數是?0，這意味著該功能?F1個F2個首先必須是一個常數。這個常數的值是多少？讓我們通過插入來弄清楚X=0?進入功能：（F1個F2個）（0）=?一世0cos?0+一世罪?0=1個換句話說，我們必須所有人都擁有?X：（F1個F2個）（X）=?一世Xcos?X+一世罪?X=1個在移動之后?cos?X+一世罪?X?在右邊，成為我們一直在尋找的著名公式。

推導3：極坐標

歐拉公式的又一個巧妙的證明涉及將指數視為數字，或更具體地說，將其視為極坐標下的復數。

確實，我們已經知道，所有非零復數都可以以獨特的方式在極坐標中表示。特別是任何形式的表格?一世X?（與真實?X）（非零）可以表示為：?一世X=[R（cos?θ+一世罪?θ）在哪里?θ是它與正實軸的主角（例如，0≤θ<2個π）， 和?[R是它的半徑（[R>0）。我們不對的值做任何假設[R?和?θ，但事實是它們是?X?（可能包含也可能不包含?X作為變量）。它們將在證明過程中確定。

（但是，我們知道的是?X=0，左側是?1個，這意味著?[R?和?θ滿足初始條件的[R（0）=1個?和?θ（0）=0， 分別。）

對于什么是價值，我們將通過開始區分等式的兩邊。通過指數的定義，相對于X?產量?一世?一世X。在微分方程式的右邊之后，方程式變為：一世?一世X=d[RdX（cos?θ+一世罪?θ）+[R（-罪?θ+一世cos?θ）dθdX我們正在尋找一種在以下方面具有獨特性的表達方式：?[R?和?θ。擺脫?一世X，我們換回?[R（cos?θ+一世罪?θ）?為了??一世X?要得到：一世[R（cos?θ+一世罪?θ）=（cos?θ+一世罪?θ）d[RdX+[R（-罪?θ+一世cos?θ）dθdX到達那里后，分發?一世?然后在左側產生：[R（一世cos?θ-罪?θ）=（cos?θ+一世罪?θ）d[RdX+[R（-罪?θ+一世cos?θ）dθdX分別將虛部和實部相等，我們得到：一世[Rcos?θ=一世罪?θd[RdX+一世[Rcos?θdθdX和-[R罪?θ=cos?θd[RdX-[R罪?θdθdX我們在這里是一個系統，兩個方程和兩個未知數，其中d[R/dX?和?dθ/dX是變量。我們可以通過幾個步驟解決它。首先，通過分配α?至?d[R/dX?和?β?至?dθ/dX，我們得到：（一世）（二）（一世）[Rcos?θ=（罪?θ）α+（[Rcos?θ）β（二）-[R罪?θ=（cos?θ）α-（[R罪?θ）β其次，將（I）乘以?cos?θ?和（II）由?罪?θ，我們得到：（三）（四）（三）[Rcos2個?θ=（罪?θcos?θ）α+（[Rcos2個?θ）β（四）-[R罪2個?θ=（罪?θcos?θ）α-（[R罪2個?θ）β這些操作的目的是消除?α?通過執行（III）–（IV），當我們這樣做時，我們得到：[R（cos2個?θ+罪2個?θ）=[R（cos2個?θ+罪2個?θ）β自從?cos2個?θ+罪2個?θ=1個，出現了一個更簡單的方程式：[R=[Rβ由于?[R>0?對所有人?X，這意味著?β?-我們已經設定為?dθ/dX?—等于?1個。

到達該位置后，將結果代入（I）和（II）并進行一些抵消，我們得到：0=（罪?θ）α0=（cos?θ）α這意味著?α?-我們已經設定為?d[RdX?—必須等于?0。

從事實?d[R/dX=0，我們可以推斷出?[R必須是一個常數。同樣，從事實dθ/dX=1個，我們可以推斷出?θ=X+C?對于一些常數?C。

但是，由于?[R滿足初始條件?[R（0）=1個，我們必須擁有?[R=1個。同樣，因為θ?滿足初始條件?θ（0）=0，我們必須擁有?C=0。那是，θ=X。

和?[R?和?θ?現在已經確定，我們可以將它們插入原始方程式并獲得：?一世X=[R（cos?θ+一世罪?θ）=cos?X+一世罪?X正如預期的那樣，這正是歐拉實數公式的陳述?X。

應用領域

作為數學中最重要的方程式之一，歐拉公式無疑在不同主題中都有其有趣的應用領域。其中包括：

• 著名的歐拉身份
• 復數的指數形式
• 三角函數和雙曲函數的替代定義
• 將指數和對數函數推廣為復數
• de Moivre定理和三角可加恒等式的替代證明

歐拉的身份

歐拉的恒等式通常被認為是數學中最美麗的方程式。它寫為

?一世π+1個=0

它展示了數學中最重要的五個常數。這些都是：

• 該添加劑的身份?0
• 該統一?1個
• 該丕恒?π?（圓的周長與其直徑之比）
• 的自然對數的基地??
• 的虛數單位?一世

其中，代表三種類型的數字：整數，無理數和虛數。還表示了三個基本的數學運算：加法，乘法和乘冪。

我們從歐拉公式開始獲得歐拉的身份?一世X=cos?X+一世罪?X并通過設置?X=π?并發送后續?-1個到左側?中間形式?一世π=-1個在復平面中的三角單位圓的上下文中是常見的：它對應于單位圓上相對于正實軸的角度為π。

指數形式的復數

至此，我們已經知道復數??可以用笛卡爾坐標表示為X+一世?， 在哪里?X?和???分別是的實部和虛部??。

實際上，相同的復數也可以用極坐標表示為[R（cos?θ+一世罪?θ）， 在哪里?[R?是它到原點的距離的大小，并且?θ?是它相對于正實軸的角度。

但這還不止于此：由于有了歐拉公式，現在每個復數都可以表示為復指數?，如下所示：

?=[R（cos?θ+一世罪?θ）=[R?一世θ

在哪里?[R?和?θ?與以前的數字相同。

從?（X，?）?至?（[R，θ），我們使用公式[R=X2個+?2個θ=阿坦2?（?，X）（在哪里?阿坦2?（?，X）是兩個參數的反正切函數與阿坦2?（?，X）=Arctan?（?X）?每當?X>0）

反之，從?（[R，θ）?至?（X，?），我們使用以下公式：X=[Rcos?θ?=[R罪?θ復數的指數形式也使得乘以復數容易得多-就像同樣的方式直角坐標使另外更容易。例如，給定兩個復數?1個=[R1個?一世θ1個?和??2個=[R2個?一世θ2個，我們現在可以將它們相乘，如下所示：?1個?2個=[R1個?一世θ1個?[R2個?一世θ2個=[R1個[R2個?一世（θ1個+θ2個）本著同樣的精神，我們還可以將兩個相同的數字除以如下：?1個?2個=[R1個?一世θ1個[R2個?一世θ2個=[R1個[R2個?一世（θ1個-θ2個）

如果我們使用矩形?X+一世?取而代之的是，相同的除法將需要乘以分子和分母中的復共軛。對于極坐標，情況將是相同的（可能更糟）。

如果有的話，指數形式肯定可以使我們更容易看到，將兩個復數相乘與將幅度相乘和相加角實際上是相同的，將兩個復數相除與將幅度相乘并相減得出的角確實相同。

關鍵功能的替代定義

歐拉公式還可用于為關鍵函數（例如復數指數函數），三角函數（例如正弦，余弦和正切）及其雙曲線對應項提供替代定義。它也可以用來建立這些功能之間的關系。

復指數函數

首先，回想一下歐拉的公式指出?一世X=cos?X+一世罪?X如果假定該公式對實數成立?X僅指數函數才定義為虛數。但是，我們還可以通過簡單的技巧將指數函數擴展為包括所有復數：

??=?X+一世?（=?X?一世?）=dF?X（cos??+一世罪??）

換句話說，復數的指數?X+一世?只是其數量級為的復數?X誰的角度是?。有趣的是，這意味著復指數本質上將垂直線映射到圓。這是說明這一點的動畫：

三角函數

除了擴展指數函數的域外，我們還可以使用歐拉公式為反角導出相似的方程?-X：?-一世X=cos?X-一世罪?X該方程式與Euler公式本身一起構成了一個方程式系統，我們可以從中分離出正弦函數和余弦函數。

例如，通過減去??-一世X?來自的等式??一世X?等式，余弦抵消并除以?2個一世，我們得到正弦函數的復雜指數形式：

罪?X=?一世X-?-一世X2個一世

同樣，通過將兩個方程式相加，可消除正弦并除以?2個，我們得到余弦函數的復雜指數形式：

cos?X=?一世X+?-一世X2個

可以肯定的是，下面的視頻更詳細地說明了相同的派生。

另一方面，切線函數定義為罪?Xcos?X，因此就復雜的指數而言，它變為：

棕褐色?X=?一世X-?-一世X一世（?一世X+?-一世X）

如果證明歐拉公式對所有復數都成立（就像我們通過冪級數在證明中所做的那樣），那么這三個公式也同樣適用。它們的存在使我們可以在三角函數和復雜指數之間自由切換，這在計算導數和積分時是一個很大的優勢。

雙曲函數

除了三角函數外，雙曲函數是可以根據復指數定義的另一類函數。實際上，通過這種連接，我們可以識別與三角函數相對應的雙曲函數。

例如，從復雜的正弦和復雜的余弦開始，然后插入一世??（并利用以下事實?一世2個=-1個?和?1個/一世=-一世）， 我們有：罪?一世?=?一世（一世?）-?-一世（一世?）2個一世=?-?-??2個一世=一世（??-?-?2個）=一世辛??cos?一世?=?一世（一世?）+?-一世（一世?）2個=??+?-?2個=柯什??從這些，我們也可以插入?一世?進入復雜的切線并得到：棕褐色?（一世?）=罪?一世?cos?一世?=一世辛??柯什??=一世譚??簡而言之，這意味著我們現在可以根據三角函數來定義雙曲函數，如下所示：

辛??=罪?一世?一世柯什??=cos?一世?譚??=棕褐色?一世?一世

但是，這些并不是我們可以提供新定義的唯一功能。實際上，根據歐拉公式，復數對數和一般復數指數是我們可以定義的另外兩類函數。

復數對數和一般復數指數

與實數的對數相比，復數的對數表現出特殊的行為。更具體地說，它具有無限數量的值而不是一個。

為了了解如何操作，我們首先將對數函數定義為指數函數的逆函數。那是：?ln??=?ln?（??）=?此外，我們還知道對于任何復數對??1個?和??2個，指數的加法性質為：??1個??2個=??1個+?2個因此，當將非零復數表示為指數時，我們具有：?=|?|?一世?=?ln?|?|?一世?=?ln?|?|+一世?在哪里?|?|?是的大小???和???是的角度??從正實軸開始。而且由于對數只是數字的指數，當對數升為?，以下定義是按順序進行的：ln??=ln?|?|+一世?首先，這似乎是定義復數對數的一種可靠方法。但是，再看一遍，則發現以這種方式定義的對數可以采用無限數量的值-這是因為??也可以選擇其他任意形式的形式??+2個π??（在哪里???是一個整數）。

例如，我們從較早的時候已經看到??0=1個?和??2個π一世=1個。這意味著可以定義1個?兩者都?0?和?2個π一世?—或任何形式的表格?2個π?一世?為此（在哪里???是一個整數）。

為了解決這個難題，通常使用兩種單獨的方法。第一種方法是簡單地將復數對數視為一個多值函數。即，將每個輸入映射到一組值的函數。實現此目的的一種方法是定義ln???如下：{ln?|?|+一世（?+2個π?）}在哪里?-π<?≤π?和??是一個整數。在這里，該子句-π<?≤π?具有限制角度的作用??僅限一位候選人。因此，?以這種方式定義通常被稱為主角度的?。

第二種方法（可以說更優雅）是簡單地定義的復數對數。???以便???是...的主角??。有了這樣的理解，原始的定義便變得清晰起來：

ln??=ln?|?|+一世?

例如，根據這一新規則，我們將擁有?ln?1個=0?和?ln?一世=ln?（?一世π2個）=一世π2個。我們不再受制于角度周期性的問題！

但是，由于限制?-π<?≤π，復數對數的范圍現在減小到矩形區域?-π<?≤π（即主體分支）。而且，如果我們想保留對數與指數之間的逆關系，我們還需要對指數函數的域進行同樣的處理。

但是，由于復數對數現已定義明確，因此我們也可以基于它定義許多其他內容，而不會產生歧義。這樣的例子就是通用復數指數（基數為非零）一種），其定義如下：

一種?=?ln?（一種?）=dF??ln?一種

例如，使用上面定義的一般復指數，我們現在可以了解?一世一世?實際上意味著：一世一世=?一世ln?一世=?一世π2個一世=?-π2個≈0.208

De Moivre定理和三角可加恒等式的交替證明

該定理稱為de Moivre定理，該定理指出：

（cos?X+一世罪?X）?=cos??X+一世罪??X

在哪里?X?是一個實數，??是一個整數。默認情況下，通過歸納可以證明這是正確的（通過使用某些三角恒等式），但是借助歐拉公式，現在存在一個更簡單的證明。

首先，請記住，指數的乘性表示（??）?=???雖然此屬性通常不適用于復數，但在以下情況下確實適用：??是一個整數。確實，不難發現在這種情況下，數學本質上可以歸結為對指數的加性的重復應用。

解決了這些問題之后，我們可以輕松得出de Moivre定理，如下所示：（cos?X+一世罪?X）?=（?一世X）?=?一世?X=cos??X+一世罪??X在實踐中，這個定理是常用的尋找根復數的，并獲得封閉形式表達的罪??X?和?cos??X。通過將升為高階的函數簡化為簡單的三角函數，可以做到這一點-從而可以輕松進行計算。

實際上，de Moivre定理不是唯一可以通過Euler公式簡化證明的定理。其他身份，如添加劑的身份為罪?（X+?）?和?cos?（X+?），也可以從該效果中受益。

確實，我們已經知道?X?和??：cos?（X+?）+一世罪?（X+?）=?一世（X+?）=?一世X??一世?=（cos?X+一世罪?X）（cos??+一世罪??）=（cos?Xcos??-罪?X罪??）+一世（罪?Xcos??+cos?X罪??）到達那里后，將兩邊的實部和虛部相等，然后得出我們一直在尋找的著名身份：

cos?（X+?）=cos?Xcos??-罪?X罪??罪?（X+?）=罪?Xcos??+cos?X罪??

結論

從上面可以看出，歐拉公式是數學領域中不可多得的瑰寶。它建立了指數函數和三角函數之間的基本關系，并為復數，復函數和相關理論的世界發展鋪平了道路。

的確，無論是歐拉的身份還是復數，歐拉的公式似乎始終如一?罪，?一世?和??參與其中。這是一個功能強大的工具，精通它會帶來巨大的回報，因此，它是“數學中最杰出的公式”的正確候選者。